אשר כנפו נולד בשנת 1935 באסאוירה (מוגדור שלשעבר) שבמרוקו, שם גדל והתחנך. הוא בן למשפחת רבנים ידועה ומצאצאיו של רבי יוסף כנפו. הוא סופר, איש חינוך ועורך ישראלי, וכיהן בעבר, בין היתר, כיושב ראש ההנהלה של התזמורת האנדלוסית הישראלית באשדוד.
בשנת 1951 עלה ארצה עם קבוצת נוער שהתחנכה בקיבוץ כפר דרום (כיום מושב בני דרום). בשנת 1961 יצא לשליחות באיטליה ובצרפת, ולמד ספרות באוניברסיטת הסורבון בפריז. ב-1974 יצא לשליחות חינוכית בפנמה. מ-1980 כיהן כמפקח וראש תחום חינוך חברתי במחוז הדרום של משרד החינוך. הוא בעל תואר ראשון ושני מטעם אוניברסיטת תל-אביב, והקים את בית הספר הראשון לילדי העולים מצפון אפריקה במחנה העולים ארנאס שבמרסיי — מסע שתיעד בספרו "הכינור ואני".
בשנת 1977 ייסד אשר כנפו את "זיו המערב" — האגודה לשימור מורשת יהדות צפון אפריקה — שפעילותה הביאה להקמת התזמורת האנדלוסית בשנת 1994. בתקופת כהונתו כיושב ראש התזמורת, זכתה התזמורת בפרס ישראל.
לאחר פרישתו ממשרד החינוך, החליט אשר כנפו להקדיש עצמו לתיעוד ולחקר התרבות העממית של יהודי מרוקו כחוקר עצמאי. הוא ערך וכתב למעלה מעשרה ספרים העוסקים במורשת קהילה זו — רומנים היסטוריים, זיכרונות, הומור עממי, שירה ומחקר — וביניהם ספר המחקר והעיון "יכין: על משנתו החינוכית ערכית של רבי יוסף כנאפו", שבו דנים שמונה־עשר חוקרים באספקטים שונים במשנתו של הרב.
בעשור האחרון פנה אשר כנפו גם אל השירה: הן ככותב ("מהן אותן מלים"), הן כמתרגם מצרפתית ("סודות נלחשים", "משלי לה פונטיין"), והן כחוקר — בפרויקט המחקר המונומנטלי "שירת האבנים" שערך עם ד"ר שלום אלדר, ובו פוענחו ותועדו מאות פיוטים וקינות שנחרתו על מצבות בתי העלמין היהודיים של מוגדור.
אשר כנפו הוא גם עורך כתב העת "ברית" — כתב העת הדו־לשוני של יהודי מרוקו — שראה אור בלמעלה מארבעים גיליונות, כל אחד מהם בן כשלוש מאות עמודים, ומוקדש לקהילה יהודית אחת במרוקו.
נשוי לחנה, ולהם ששה ילדים. חוקרת האלצהיימר פרופ' שירה כנפו וחוקר הפסיכולוגיה פרופ' אריאל כנפו הם ילדיו.